Помощь по Теле2, тарифы, вопросы

Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF

Введение

Актуальность данной темы заключается в том, что использование нестандартных приемов в формировании вычислительных навыков помогает сэкономить время на уроке, успешно сдать экзамен как в 9-м, так и в 11-м классе по математике.

Числа палиндромы и репьюниты образуют одно из наиболее интересных подмножеств множества натуральных чисел. Они обладают необычной историей, удивительными свойствами.

Было проведено исследование среди 7, 8, 9, 11 классов и выяснилось, что многие ребята слышали об этих числах, но подробную информацию знают единицы. Многие из опрошенных учащихся хотели бы узнать об этих числах больше.

В настоящее время при переходе на новые стандарты меняются цели основного и среднего (полного) образования. Одна из главных задач, стоящих перед нами, учителями, в условиях модернизации образования - вооружить учащихся осознанными, прочными знаниями, развивая их самостоятельное мышление. В условиях развития новых технологий возрос спрос на людей, обладающих нестандартным мышлением, умеющих ставить и решать новые задачи. Поэтому в практике работы современной школы все большее распространение приобретает исследовательская деятельность учащихся как образовательная технология, направленная на приобщение учащихся к активным формам получения знаний. Научно-исследовательская деятельность является:

мощным средством, позволяющим увлечь новое поколение по самому продуктивному пути развития и совершенствования;

одним из методов повышения интереса и соответственно качества образовательного процесса.

Цель: познакомиться с числами палиндромами и репьюнитами и выявить эффективность их применения для обучения современных школьников. Практически все математические понятия, так или иначе, опираются на понятие числа, а конечный результат любой математической теории, как правило, выражается на языке чисел. Многие из них, особенно натуральные числа по тем или иным признакам и свойствам сгруппированы в отдельные структуры (совокупности) и имеют собственные имена.

Задачи:

Раскрыть историю возникновения счета;

Рассмотреть некоторые приемы устных вычислений и на конкретных примерах показать преимущества их использования;

Литературу по теме;

Рассмотреть свойства и репьюнитов;

Установить между и репьюнитами;

Выяснить, роль играют числа в изменении заинтересовавших нас.

Гипотеза: если исп нестандартные приемы, то скорость вычислений, а количество уменьшается.

Простые - это часть чисел, из состоят все натуральные.

Исследуя простых чисел, получить удивительные множества с их необыкновенными.

Предмет - множество простых.

Объект исследования - палиндромы и репьюниты.

исследования:

анкетирование

все математические понятия, так или, опираются на понятие, а конечный любой математической, как правило, выражается на чисел.

Работа изучению чисел: палиндромов и, установлению связи ними.

Теоретическая

1 Палиндромы

палиндрома насчитывает два тысячеле-тия. Определено назание - квадропалин. Палиндром - фракталов, кристаллов и материи. Способность лежит в человеческой глубоко, на уровне. Молекулы ДНК палиндромные элементы. Сам являет собой пример, точнее, частный вертикальной симметрии.

такие удивительные, которые одинаково и слева, и справа налево. я читала книгу Константиновича «Буратино», то обратила внимание на такую: А роза упала на Азора. её просила написать в неуча Буратино Мальвина.

Называются взаимообратные палиндромами, что в переводе с означает «бегущий, возвращающийся». Палиндром - из древнейших литературных экспериментов. европейских палиндромов греческому поэту (300 г. до н.э.).

греческий палиндром, на купели византийского Софии в Константинополе: anomhmata mh oyin (омывайте так же как и тело). Здесь уже заговорный характер - записанная по надпись должна заклятием от злых сил, не их к святой купели.

Вот н палиндромные: Аргентина манит. Умер, и мир ему. Лезу на. У дуба буду. Миши. Вот сила типа. Ешь немытого ты меньше! тапок-то? "Пустите!" - супу Максиму. - "Пустите, суп!" Я не реву - я. А муза рада без ума да разума. , храни лук. Ты, милок, иди: у дороги мина, за огород, а за ним и город у; иди, коли мыт. Он в аду. Ого, вижу живого. манит негра. , и мир ему. Лезу на санузел. У буду. Миши молоко. Вот типа капиталистов. Ешь ты меньше! Откопать? "Пустите!" - супу миска. - "Пустите, летит!" Я не реву - уверен я. А рада без ума да разума. Кулинар, лук. Ты, милок, иди яром: у мина, за дорогой, а за ним и город у; иди, коли мыт. Он в аду давно. Ого, живого.

Меня вопрос. Интересно, ли палиндромы в? И можно ли перенести эту же - идею взаимообратного, прочтения - в математику. (греч.) - , одинаковость в расположении. Симметричным называется объект, который как-то, получая в результате то же, с начали. Многие живой природы, лист, бабочку объединяет то, что они. Если их мысленно вдоль начерченной, то их половинки. А если поставить вдоль прочерченной, то отражённая в нём половинка дополнит её до. Поэтому такая называется зеркальной. , вдоль которой зеркало, осью симметрии. каждый из нас по несколько раз в видит своё в зеркале. Это обычно, что мы не удивляемся, не вопросов, не делаем. И только философы и не теряют удивляться.

Что же меняется в при его отражении в зеркале? Мы опыты с зеркалами. поставить сбоку от буквы А, то в зеркале туже букву. Но если зеркало, отражение уже не похоже на А - это А дном. А вот если зеркало снизу В, отражение также. Зато поставив сбоку от неё, получим В наперёд.

Буква А вертикальную, а буква В - горизонтальную. , мы выяснили, что зеркальная меняет местами, лево - . Оказывается и среди есть палиндромы. числа - палиндромы в не составило. Я попыталась составить числа для этих - палиндромов.

В двузначных - палиндромах единиц совпадает с десятков.

В числах - палиндромах сотен совпадает с числом.

В четырехзначных числах - число единиц совпадает с единиц, а число с числом десятков и т.д.

формулы вызвали у больший. Под формулами - палиндромами выражение, состоящее из или разности чисел, которого не в результате прочтения справа налево.

сложить числа - , то сумма не.

Например: 22 + 66 = 66 + 22.

В общем это можно записать так:

1.Найти все пары двузначных, чтобы результат их не менялся в результате суммы справа, например, 42 + 35 = 53 + 24.

равенство:

Представим числа в виде разрядных слагаемых:

(10 1 + у 1) + (10х 2 + у 2) = (10 2 + х 2) + (10у 1 + х 1)

10х 1 + у 1 + 10х 2 + у 2 = 10у 2 + х 2 +10у 1 + х 1 . с х перенесем в левую равенства, а с у - в правую:

10х 1 - х 1 + 10х 2 - х 2 = 10у 1 - у 1 + 10у 2 - у 2 .

распределительное:

9 х 1 + 9 х 2 = 9 у 1 + 9 у 2

9(х 1 + х 2) = 9(у 1 + у 2)

х 1 + х 2 = у 1 + у 2 .

То есть для решения задачи сумма цифр должна равна их вторых цифр.

можно составлять суммы:

76 + 34 = 43 + 67

25 + 63 = 36 + 52 и т.д.

Задача 2. все пары двузначных чисел, результат их вычитания не в результате прочтения справа.

Представив наши в виде суммы слагаемых и выполнив преобразования, что для решения нашей. У таких чисел быть равны цифр.

(10 1 + у 1) - (10х 2 + у 2) = (10у 2 + х 2) - (10 1 + х 1)

10х 1 + у 1 - 10х 2 - у 2 = 10у 2 + х 2 - 10у 1 - х 1

10х 1 + х 1 + у 1 + 10у 1 = 10у 2 + у 2 + 10х 2 + х 2

11 х 1 + 11 у 1 = 11х 2 + 11у 2

11(х 1 + у 1) = 11(х 2 + у 2)

х 1 + у 1 = х 2 + у 2

можно составлять разности:

41 - 32 = 23 - 14

46 - 28 = 82 - 64

52 -16 = 61 - 25 и т.д.

В умножения имеем: 63 ∙ 48 = 84 ∙ 36, 82 ∙ 14 = 41 ∙ 28, ... — при произведение первых у чисел N 1 и N 2 равно их вторых (x 1 ∙ x 2 = y 1 ∙ y 2).

Наконец, для деления такие примеры:

В случае произведение цифры N 1 на вторую цифру N 2 равно произведению других их цифр, т.е. x 1 ∙ y 2 = x 2 ∙ y 1 .

Я доказать для произведения. Вот что у меня.

N 1 = = 10х 1 + у 1N3 = = 10у 2 + х 2

N 2 = = 10х 2 + у 2 N4 = = 10у 1 + х 1

N 1 ∙ N 2 = ∙ = (10х 1 + у 1) ∙ (10 2 + у 2)

N 3 ∙ N 4 = ∙ = (10у 2 + х 2) ∙ (10у 1 + х 1)

100 1 ∙х 2 + 10х 1 ∙у 2 + 10у 1 ∙х 2 + у 1 ∙у 2 = 100у 1 ∙у 2 + 10х 1 ∙у 2 + 10у 1 ∙х 2 + х 1 ∙х 2

99х 1 ∙х 2 = 99у 1 ∙у 2 ; х 1 ∙х 2 = у 1 ∙у 2 , что и доказать.

С помощью числа - палиндром и можно решать на делимость, которые часто в олимпиадах по математике. Вот из них:

Задача.Докажите, что из трёхзначного вычесть число, теми же цифрами, но в о порядке, разность делиться на 9.

Т.е. данное произведение на 9.

Между прочим, поколению выпала удача, не человеку выпадает хотя бы один год, а уж тем более два - 1991-й и 2002- предыдущий был в 1881-, а следующий — в 2112-м. В работе мы прикоснулись к математическому явлению - , в частности к её - палиндромам.

В своей я рассмотрела числа - , формулы - палиндромы для и разности, и частного двузначных и смогла их доказать. познания законов и красоты и труден, и мы находимся в его начале.

С помощью числа-палиндром и формулы-палиндромы решать на делимость чисел, часто встречаются в по математике. Вот одна из них:

. Докажите, что из трёхзначного числа число, записанное же цифрами, но в обратном, разность будет делиться на 9.

. ,т.е. данное произведение на 9.

Числовые палиндромы - это числа, одинаково читаются налево и слева. Иначе говоря, симметрией (расположения цифр), число знаков быть как чётным, так и.

Например: 121; 676; 4884; 94949; 1178711 и т. д.

Палиндром можно как результат над другими числами. Для воспользуемся известным.

Алгоритм получения:

Возьми двузначное число

его (переставь цифры налево)

Переверни число

Повторяй аналогичные до тех пор, пока не получится

В результате проделанной я пришла к выводу, что, составленный, из любого двузначного можно получить.

Можно рассмотреть не сложение, но и операции над палиндромами. (2)

Приведем два примера, как при помощи одних получаются:

а) 212² - 121² = - 14641 = 30303;

б) = 2·11² ·101² = = 1111· = 2468642.

Теперь к числам простым. В их множестве имеются семейства. Только среди ста миллионов натуральных насчитывается 781 простой, причём приходится на первую, из них четыре числа - 2; 3; 5; 7 и всего одно - 11. С такими связано немало интересных:

Существует единственный палиндром с чётным цифр - 11.

и последней цифрами простого палиндрома быть только 1; 3; 7 или 9. Это из известных делимости на 2 и на 5. Все простые числа, записанные с перечисленных цифр (19), можно на пары.

Например: 13 и 31; 17 и 71; 37 и 73; 79 и 97.

простых трёхзначных встречаются пары, у которых цифра отличается на 1.

Например: 181 и 191; 373 и 383; 787 и 797; 919 и 929.

Аналогичная наблюдается у больших чисел.

: 94849 и 94949; и 1178711.

Все однозначные являются палиндромами.

26 - число, не палиндромом, квадрат палиндром

Например: 26² = 676

А вот чисел - «перевёртышей» 13 — 31 и 113 — 311 при в квадрат также пары «»: 169 — 961 и 12769 — 96721. пытно, что даже их цифр связаны хитрым:

(1+3) 2 =1+6+9,(1 + 1 + 3) 2 = 1 + 2 + 7 + 6 + 9.

Из простых - палиндромов, располагая их образом, построчно, можно симметричные фигуры, оригинальным рисунком из цифр.

1- Примеры палиндромов

2 Репьюниты

Натуральные числа, которых состоит из единиц. В системе счисления обозначаются короче R n: R 1 = 1, R 2 = 11, R 3 = 111 и т. д., и вид для них:

Общий вид репьюнита быть в другом виде:

: 11; 111; 1111; 11111; 1111111 и т. д.

Обнаружено интересных репьюнитов:

Репьюниты - случай чисел-палиндромов, остаются неизменными при и обратном.

Репьюниты относятся к палиндромам, которые на произведение своих.

Известно простых репьюнитов: R 2 , R 19 , R 23 , R 317 и R , причем, что самое - индексы этих также числа. Самое число репьюнит - 1. большое - ещё не найдено.

Раскладывая некоторые репьюниты на простые:

11111 = 41∙ 271

3∙7∙11∙13∙37

11111111 = 11∙73∙101∙137

3∙37∙333667 и т. д. можно числа.

В результате умножения репьюнитов мы получили палиндромы:

11111∙111 = 1233321

11111∙11111 = и т.д.

Перемножив репьюнитов, можно вывод о том, что каждый раз число палиндром. (3).

Число 7 - , т.к. его запись по основанию 2: 111, а по 6: 11 (i.e. 7 10 = 11 6 = 111 2).

Другими словами, 7 является репьюнитом по мере в основаниях b > 1.

Определим целое число с свойством как сильный. Можно, что существует 8 сильных меньше 50: {1,7,13,15,21,31,40,43}. , сумма всех меньше равна 15864.

2- Пример репьюнита

В областях науки репьюнитов не найдены.

часть

две интересные задачи из «Квант» №5 за 1997 год.

Какими цифрами заменить, чтобы сумма слагаемых стала репьюниту?

Решение: +12345679+12345679=111111111 -

Ответ: 111111111

Произведением каких репьюнитов является 123455554321?

Перемножив два репьюнита, мы

11111111 · 11111 =

Ответ: 11111111 ·

Прослеживается: цифры в записи сначала по возрастанию, а по убыванию, причём цифрой длина меньшего, а количество повторений цифры в середине равно длин репьюнитов, на единицу. Перемножив репьюнитов, делаем о том, что каждый раз число палиндром. (3)

Также экспериментально, что при перемножении репьюнитов по правилу число единиц быть меньше 10. То максимальное произведение: 1(19) * 1(9 раз)= 1 234 567 899 999 999 999 987 654 321. палиндром не получается.

занимательных и олимпиадных

Вычислительный.

Ответ: 12 345 654 321

: 12 345 554 321

количество чисел - , делящихся на 2:

б) трехзначных

в) четырехзначных

На 2 делится четное число. ,

а) среди чисел - палиндромов - 22, 44, 66 и 88. То есть 4 числа.

б) у чисел - палиндромов и последняя одинаковые и должны четными. Четных 4 (2, 4, 6 и 8). В середине может любая из 10 от 0 до 9. Поэтому, всего трехзначных чисел - .

в) у четырехзначного искомого должны четными одинаковые и последняя цифры - их 4. При одинаковые вторая и цифры быть любыми из. Значит, четырехзначных - палиндромов тоже 40.

г) у чисел - первая и последняя одинаковы и четны, их быть 4. При этом 2 и 4 также и их может быть 10. цифра также быть любой из 10. , всего чисел - палиндромов -

Итак, все мы убедились в том, что важна не только по себе. подход к окружающему помогает лучше его. И математический стиль нужен всем - и языковеду, и, и химику, и физику, и, и художнику, и поэту, и.

Проведя по данной теме, я свойства палиндромов и, установила связь ними, какую роль простые числа в свойств данных.

Результаты (сходство и различие) в таблицу.

Таблица 3- свойств палиндром и.

исследование по данной, я изучила свойства и репьюнитов, установила между, выяснила какую играют простые в изменении свойств чисел.

исследования (сходство и) занесены в таблицу.

Таблица 4- « ли знать об этих числах?»

Результаты показали, что все учащиеся знать больше о палиндромах и.

Также провела «Используете ли вы эти числа в?». Данные занесла в.

Таблица 5- « ли вы эти числа в жизни?»

по опросу: Чем школьник, тем он чаще палиндромы и репьюниты в жизни.

Заключение

Мир настолько и увлекателен, что занимаясь д работой, исследовано, что бы каждый из нас уделял ему внимания, то бы для себя много и интересного.

Познакомившись с натуральными числами: и репьюнитами. Все они своими свойствами числам.

Значит, гипотеза о том, что простые ч - это часть, из которых состоят все числа.

Исследуя простых чисел, получить числовые множества с их свойствами.

В своей большое внимание проектам, конкретное общественно-полезное. Часто эти проекты долгосрочными, ориентированными на системы: - внеклассная деятельность.

метод проектов сочетание индивидуальной работы с в сотрудничестве, в малых и в коллективе. Реализация проектов на практике к изменению учителя. Из носителя знаний он превращается в познавательной, исследовательской своих. Изменяется и психологический в классе, так как учителю переориентировать свою работу и учащихся на разнообразные самостоятельной деятельности, на деятельности исследовательского, творческого. Обеспечение и сопровождение деятельности строится на сотрудничества и включает:

в определении замысла проектной;

консультирование стадий: поиска информации, проектных, поощрение практического непосредственной работы с;

внимание к индивидуальным и способам и образного мышления, и интерпретации, инициирование продумывания деятельности и ее продукта;

инициативы и творческого проектной деятельности;

в обеспечении презентации и экспертизы проектной деятельности.

В результате активного метода проектов на и во внеурочной у учащихся формируются учебные умения, и обобщенные способы. Обучающиеся прочно усваивают, полученные в ходе решения поставленных. Ученики опыт вдумчивой с текстом художественного, опыт работы с объемом из различных источников. приобретают навыки сотрудничества и коммуникации: работать в, планировать работу и в группе, учатся ситуации и принимать.

Проектная на уроке и во внеурочное способствует формированию у духовности и культуры, самостоятельности, к успешной социализации в и активной адаптации на труда.

Метод деятельности в связи с изменениями, в образовании. Компьютеры и стали неотъемлемой образовательного. В работе использую как необходимое условие современного урока. техника представлять результаты деятельности ярко, подбирать систему, иллюстраций к вопросам темы.

В работы над проектом с средств ИКТ формируется, умеющий не только по образцу, но и, получающий необходимую из максимально большего источников, ее анализировать и делать. Метод проектов школой, так как он демон высокую, мотивированность обучения, перегрузки, повышение потенциала учащихся.

Операции над

Выполняя действия над палиндромами в результате можно получить и палиндром, и репьюнит.

Приложение 2

Произведение репьюнитов дает палиндром.

Перемножив немало репьюнитов, делаем вывод о том, что каждый раз получается число палиндром.

Приложение 3

Приложение 4

Фото опыта

Список использованных источников информации

Депман И.Я. За страницами учебника математики //пособие для учащихся 5-6 классов средней школы. - М.: Просвещение, 1989.

Ейтс С. Репьюниты и десятичные периоды // издательство «Мир». - 1992.

Кордемский Б.А. Удивительный мир чисел // книга для учащихся. - М.: Просвещение, 1995.

Кордемский Б. А. На часок к семейке репьюнитов // Квант. -1997. - № 5. - с. 28-29.

Перельман Я.И. Занимательная математика // издательство «Тезис». - 1994

http://arbuz.uz/t_numbers.html.

Лоповок Л.М. Тысяча проблемных задач по математике: Кн. для учащихся. - М.: Просвещение, 1995. - 239с.

Карпушина Н.М. Репьюниты и палиндромы// Математика в школе. - 2009, №6. - С.55 - 58.

Строгов И.С. Жар холодных чисел. Очерки. - Л.: Детская литература, 1974.

Перельман Я.И. Живая математика. - М.: «Наука», 1978.

Яковлев Данил

Практически все математические понятия, так или иначе, опираются на понятие числа, а конечный результат любой математической теории, как правило, выражается на языке чисел. Многие из них, особенно натуральные числа по тем или иным признакам и свойствам сгруппированы в отдельные структуры (совокупности) и имеют собственные имена. Таким образом, целью исследования является знакомство с числами палиндромами

Скачать:

Предварительный просмотр:

РОССИЙСКАЯ ФЕДЕРАЦИЯ

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

«Средняя школа №7»

город Нижневартовск

Научно-исследовательская работа
на школьную научно-практическую конференцию молодых исследователей

Палиндромы в математике

2016 год

ВВЕДЕНИЕ 4

ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ.......................................................................................................................5

ЗАКЛЮЧЕНИЕ 9

ЛИТЕРАТУРА 11

Гипотеза
Простые числа – это часть чисел, из которых состоят все натуральные числа.
Исследуя множество простых чисел, можно получить удивительные числовые множества с их необыкновенными свойствами.

Цель исследования
Практически все математические понятия, так или иначе, опираются на понятие числа, а конечный результат любой математической теории, как правило, выражается на языке чисел. Многие из них, особенно натуральные числа по тем или иным признакам и свойствам сгруппированы в отдельные структуры (совокупности) и имеют собственные имена. Таким образом, целью исследования является знакомство с числами палиндромами.

Задачи исследования

1.Изучить литературу по теме исследования.

2.Рассмотреть свойства палиндромов.

3..Выяснить, какую роль играют простые числа в изменении свойств заинтересовавших нас чисел.

Предмет исследования – множество простых чисел.

Объект исследования – числа палиндромы..

Методы исследования :

• теоретический
• анкетирование
• анализ

ВВЕДЕНИЕ

Однажды, играя в боулинг я заметил необычные числа: 44, 77, 99, 101 и мне стало интересно, что это за числа? Заглянув в интернет я узнал что это числа палиндромы.

Палиндро́м (от греч. πάλιν -« назад , снова » и греч. δρóμος - « бег »), иногда также палиндромон , от гр . palindromos бегущий обратно ).

Говоря о том, что такое палиндром, следует сказать, что известны «перевертыши» с самой глубокой древности. Зачастую им придавался магический сакральный смысл. Появились палиндромы, примеры которых можно встретить в самых разных языках, предположительно в средние века.

Палиндром можно получить как результат операций над другими числами. Так, в книге «Есть идея!» известного популяризатора науки Мартина Гарднера в связи с этой задачей упоминается «гипотеза о палиндромах». Если взять натуральное число (любое) и прибавить к нему обращенное (состоящее из тех же цифр, но в обратном порядке), затем повторить действие, но уже с полученной суммой, то на одном из шагов получится палиндром. В некоторых случаях достаточно осуществить сложение единожды: 213 + 312 = 525. Но обычно необходимо не меньше двух операций. Так, например, если взять число 96, то, совершив последовательное сложение, палиндром можно получить только на четвертом уровне: 96 + 69 = 165 165 + 561 = 726 726 + 627 = 1353 1353 + 3531 = 4884 Суть гипотезы состоит в том, что если брать любое число, после определенного количества действий будет обязательно получен палиндром.

ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ

Числа – палиндромы

Найти числа – палиндромы в математике не составило труда. Я попытался составить запись числа для этих чисел – палиндромов.

В двузначных числах – палиндромах число единиц совпадает с числом десятков.

– в трехзначных числах – палиндромах число сотен всегда совпадает с числом единиц.

В четырехзначных числах – палиндромах число единиц тысяч совпадает с числом единиц, а число сотен с числом десятков и т.д.

Формулы – палиндромы

Палиндромные формулы вызвали у меня больший интерес. Под формулами – палиндромами, я понимаю, выражение (состоящее из суммы или разности чисел) результат которого не меняется в результате прочтения выражения справа налево.

Если сложить числа – палиндромы, то сумма не меняется. Сложение двухзначных чисел довольно просто я решил записать сумму для трёхзначных чисел.

Например: 121+343=464

В общем виде это можно записать так:

+ = +

(100х + 10х+ x) + (100у + 10y + у) = (100у + 10y + у) + (100х + 10x + х)

100х + 10х+ x + 100у + 10у + y = 100у + 10у + y + 100x +10х + х

111х + 111у = 111у + 111х

111(х + у) = 111(у + х)

х + у = у + х

От перестановки слагаемых сумма не изменяется (переместительное свойство сложения).

Точно также доказывается для 4-х, 5-х и n - значных чисел.

Рассмотрим все пары таких двузначных чисел, чтобы результат их вычитания не менялся в результате прочтения разности справа налево.

Любое двузначное число можно представить в виде суммы разрядных слагаемых:

10х 1 + у 1 = 10х 2 + у 2

- = (10х 1 + у 1 ) – (10х 2 + у 2 )

- = (10у 2 + х 2 ) – (10у 1 + х 1 )

(10х 1 + у 1 ) – (10х 2 + у 2 ) = (10у 2 + х 2 ) – (10у 1 + х 1 )

10х 1 + у 1 – 10х 2 - у 2 = 10у 2 + х 2 – 10у 1 - х 1

10х 1 + х 1 + у 1 + 10у 1 = 10у 2 + у 2 + 10х 2 + х 2

11 х 1 + 11 у 1 = 11х 2 + 11у 2

11(х 1 + у 1 ) = 11(х 2 + у 2 )

х 1 + у 1 = х 2 + у 2

У таких чисел равны суммы цифр.

Теперь можно составлять такие разности:

41 – 32 = 23 – 14

46 – 28 = 82 – 64

52 –16 = 61 – 25 и т.д.

Именные палиндромы

Палиндромы встречаются в некоторых множествах чисел, удостоенных собственных названий: число Фибоначчи, число Смита, Репдиджит, Репьюнит.

Числами Фибоначчи называют элементы числовой последовательности. В ней каждое следующее число в ряду получается суммированием двух предыдущих чисел.

Пример: 0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,…

Число Смита - составное число, сумма цифр которого равна сумме цифр его простых делителей.

Пример: 202=2+0+2=4

Репдиджит - натуральное число, в записи которого все цифры одинаковые.

Репьюнит - натуральное число, записанное с помощью одних только единиц

Числовой конструктор

Из простых чисел-палиндромов, располагая их определённым образом, скажем построчно, можно составить симметричные фигуры, отличающиеся оригинальным рисунком из повторяющихся цифр.

Вот, например, красивая комбинация из простых палиндромов, записанных с помощью 1 и 3 (рис. 1). Особенность этого числового треугольника в том, что один и тот же фрагмент повторяется трижды, не нарушая симметрию рисунка.

Рис. 1

Легко видеть, что общее количество строк и столбцов - число простое (17). К тому же простые числа и суммы цифр: выделенных красным фрагментов (17); каждой строки, за исключением первой (5, 11, 17, 19, 23); третьего, пятого, седьмого и девятого столбцов (7, 11) и «лесенки» из единиц, образующей боковые стороны треугольника (11). Наконец, если двигаться параллельно указанным «сторонам» и складывать по отдельности цифры третьего и пятого рядов (рис. 2), получим ещё два простых числа (17, 5).

Рис. 2

Продолжая построение, можно сконструировать на основе данного треугольника более сложные фигуры. Так, ещё один треугольник с аналогичными свойствами нетрудно получить, двигаясь с конца, то есть начать с последнего числа, вычёркивая на каждом шаге две одинаковые симметрично расположенные цифры и переставляя или заменяя другие - 3 на 1 и наоборот. При этом сами цифры следует выбирать с таким расчётом, чтобы образующееся в итоге число оказалось простым. Объединив обе фигуры, получим ромб с характерным узором из цифр, скрывающим в себе немало простых чисел (рис. 3). В частности, сумма выделенных красным цветом цифр равна 37.

Рис. 3

Можно составить также многоугольные фигуры из чисел, обладающие определёнными свойствами. Пусть требуется построить фигуру из простых палиндромов, записанных с помощью 1 и 3, у каждого из которых крайние цифры - единицы, а сумма всех цифр и общее количество единиц в строке - простые числа (исключение - однозначный палиндром). Кроме того, простым числом должно выражаться общее количество строк, а также цифр 1 либо 3, встречающихся в записи.

На рис. 4 приведено одно из решений задачи - «домик», сконструированный из 11 различных палиндромов.

Рис. 4

Конечно, не обязательно ограничиваться двумя цифрами и требовать наличия в записи каждого используемого числа всех указанных цифр. Скорее, наоборот: ведь именно их необычные сочетания придают своеобразие узору фигуры. В подтверждение этому приведём несколько примеров красивых палиндромических зависимостей (рис. 5−7).

Рис. 5

Рис. 6

Рис. 7

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В своей работе я рассмотрел числа – палиндромы, формулы – палиндромы для суммы трехзначных чисел и разности двузначных чисел и смог их доказать. Я познакомился с удивительными натуральными числами: палиндромами и репьюнитами. Все они обязаны своими свойствами простым числам .
Интуитивно я составил формулы для суммы и разности n- значных чисел, произведения и частного двухзначных чисел.

В случае умножения имеем:

63 ∙ 48 = 84 ∙ 36

82 ∙ 14 = 41 ∙ 28

26 ∙ 31 = 62 ∙ 13 и т.д.

Произведение первых цифр равно произведению их вторых цифр х 1 ∙ х 2 = у 1 ∙ у 2

Для деления получаем такие примеры:

62: 31 = 26: 13

96: 32 = 69: 23 и т.д.

Данные утверждения я пока не смог доказать, но думаю, что мне удастся это сделать в дальнейшем.

В литературе я смог найти формулы – палиндромы умножения многозначных чисел

20646 ∙ 35211 = 11253 ∙ 64602 203313 ∙ 657624 = 426756 ∙ 313302

726966306 = 726966306 133703508312 = 133703508312

Цели своей работы я достиг. Рассмотрел числа – палиндромы и записал их в общем виде. Привел примеры и доказал формулы – палиндромы для сложения и вычитания двухзначных чисел. Определил ряд вопросов над которыми мне предстоит ещё работать и исследовать формулы – палиндромы. Значит, я подтвердил гипотезу о том, что простые числа – это часть чисел, из которых состоят все натуральные числа. Исследуя множество простых чисел, можно получить удивительные числовые множества с их необыкновенными свойствами.

Предварительный просмотр:

Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него:

Формулировка. Дано четырехзначное число. Проверить, является ли оно палиндромом. Примечание: палиндромом называется число, слово или текст, которые одинакового читаются слева направо и справа налево. Например, в нашем случае это числа 1441, 5555, 7117 и т. д.

Примеры других чисел-палиндромов произвольной десятичной разрядности, не относящиеся к решаемой задаче: 3, 787, 11, 91519 и т. д.

Решение. Для ввода числа с клавиатуры будем использовать переменную n . Вводимое число принадлежит множеству натуральных чисел и четырехзначно, поэтому оно заведомо больше 255, так что тип byte для ее описания нам не подходит. Тогда будем использовать тип word .

Какими же свойствами обладают числа-палиндромы? Из указанных примеров легко увидеть, что в силу своей одинаковой «читаемости» с двух сторон в них равны первый и последний разряд, второй и предпоследний и т. д. вплоть до середины. Причем если в числе нечетное количество разрядов, то серединную цифру можно не учитывать при проверке, так как при выполнении названного правила число является палиндромом вне зависимости от ее значения.

В нашей же задаче все даже несколько проще, так как на вход подается четырехзначное число. А это означает, что для решения задачи нам нужно лишь сравнить 1-ю цифру числа с 4-й и 2-ю цифру с 3-ей. Если выполняются оба эти равенства, то число – палиндром. Остается только получить соответствующие разряды числа в отдельных переменных, а затем, используя условный оператор, проверить выполнение обоих равенств с помощью булевского (логического) выражения.

Однако не стоит спешить с решением. Может быть, мы сможем упростить выведенную схему? Возьмем, например, уже упомянутое выше число 1441. Что будет, если разделить его на два числа двузначных числа, первое из которых будет содержать разряд тысяч и сотен исходного, а второе – разряд десятков и единиц исходного. Мы получим числа 14 и 41. Теперь, если второе число заменить на его реверсную запись (это мы делали в задаче 5 ), то мы получим два равных числа 14 и 14! Это преобразование вполне очевидно, так в силу того, что палиндром читается одинаково в обоих направлениях, он состоит из дважды раза повторяющейся комбинации цифр, и одна из копий просто повернута задом-наперед.

Отсюда вывод: нужно разбить исходное число на два двузначных, одно из них реверсировать, а затем выполнить сравнение полученных чисел с помощью условного оператора if . Кстати, для получения реверсной записи второй половины числа нам необходимо завести еще две переменные для сохранения используемых разрядов. Обозначим их как a и b , и будут они типаbyte .

Теперь опишем сам алгоритм:

1) Вводим число n ;

2) Присваиваем разряд единиц числа n переменной a , затем отбрасываем его. После присваиваем разряд десятковn переменной b и также отбрасываем его:

3) Присваиваем переменной a число, представляющее собой реверсную запись хранящейся в переменных a и b второй части исходного числа n по уже известной формуле:

4) Теперь мы можем использовать проверку булевского выражения равенства полученных чисел n и a помощью оператора if и организовать вывод ответа с помощью ветвлений:

if n = a then writeln(‘Yes’) else writeln(‘No’);

Так как в условии задачи явно не сказано, в какой форме необходимо выводить ответ, мы будем считать логичным вывести его на интуитивно понятном пользователю уровне, доступном в средствах самого языкаPascal . Напомним, что с помощью оператора write (writeln ) можно выводить результат выражения булевского типа, причем при истинности этого выражения будет выведено слово ‘TRUE’ («true» в пер. с англ. означает «истинный»), при ложности – слово ‘FALSE’ («false» в пер. с англ. означает «ложный»). Тогда предыдущая конструкция с if может быть заменена на

1. program PalindromeNum;
2. n: word;
3. a, b: byte;
4. begin
5. readln(n);
6. a:= n mod 10;
7. n:= n div 10;
8. b:= n mod 10;
9. n:= n div 10;
10. a:= 10 * a + b;
11. writeln(n = a)

Наталья Карпушина.

ЗАДОМ НАПЕРЁД

Числовой палиндром - это натуральное число, которое читается слева направо и справа налево одинаково. Иначе говоря, отличается симметрией записи (расположения цифр), причём число знаков может быть как чётным, так и нечётным. Палиндромы встречаются в некоторых множествах чисел, удостоенных собственных названий: среди чисел Фибоначчи - 8, 55 (6-й и 10-й члены одноимённой последовательности); фигурных чисел - 676, 1001 (квадратное и пятиугольное соответственно); чисел Смита - 45454, 983389. Указанным свойством обладает также всякий репдиджит, например 2222222 и, в частности, репьюнит .

Палиндром можно получить как результат операций над другими числами. Так, в книге «Есть идея!» известного популяризатора науки Мартина Гарднера в связи с этой задачей упоминается «гипотеза о палиндромах». Возьмём любое натуральное число и сложим его с обращённым числом, то есть записанным теми же цифрами, но в обратном порядке. Проделаем то же действие с получившейся суммой и будем повторять его до тех пор, пока не образуется палиндром. Иногда достаточно сделать всего один шаг (например, 312 + 213 = 525), но, как правило, требуется не менее двух. Скажем, число 96 порождает палиндром 4884 только на четвёртом шаге. В самом деле:

165 + 561 = 726,

726 + 627 = 1353,

1353 + 3531 = 4884.

А суть гипотезы в том, что, взяв любое число, после конечного числа действий мы обязательно получим палиндром.

Можно рассматривать не только сложение, но и другие операции, включая возведение в степень и извлечение корней. Вот несколько примеров того, как при их помощи из одних палиндромов получаются другие:

ИГРЫ ЦИФР

До сих пор мы рассматривали в основном составные числа. Теперь обратимся к числам простым. В их бесконечном множестве имеются немало любопытных экземпляров и даже целые семейства палиндромов. Только среди первых ста миллионов натуральных чисел насчитывается 781 простой палиндром, причём двадцать приходятся на первую тысячу, из них четыре числа однозначные - 2, 3, 5, 7 и всего одно двузначное - 11. С такими числами связано немало интересных фактов и красивых закономерностей.

Во-первых, существует единственный простой палиндром с чётным числом цифр - 11. Другими словами, произвольный палиндром с чётным числом цифр, бóльшим двух, число составное, что нетрудно доказать на основе признака делимости на 11.

Во-вторых, первой и последней цифрами любого простого палиндрома могут быть только 1, 3, 7 или 9. Это следует из известных признаков делимости на 2 и на 5. Любопытно, что все простые двузначные числа, записанные с помощью перечисленных цифр (за исключением 19), можно разбить на пары чисел-«перевёртышей» (взаимно обращённых чисел) вида и , где цифры a и b различны. Каждая из них, независимо от того, какое число стоит на первом месте, читается одинаково слева направо и справа налево:

13 и 31, 17 и 71,

37 и 73, 79 и 97.

Заглянув в таблицу простых чисел, мы обнаружим аналогичные пары, в записи которых присутствуют и другие цифры, в частности, среди трёхзначных чисел подобных пар наберётся четырнадцать.

Кроме того, среди простых трёхзначных палиндромов встречаются пары чисел, у которых средняя цифра отличается всего на 1:

18 1 и 19 1, 37 3 и 38 3,

78 7 и 79 7, 91 9 и 92 9.

Аналогичная картина наблюдается и у бо`льших простых чисел, например:

948 49 и 949 49,

1177 711 и 1178 711.

Простые числа-палиндромы могут «задаваться» разными симметричными формулами, которые отражают особенности их записи. Это хорошо видно на примере пятизначных чисел:

Кстати, простые многозначные числа вида встречаются, очевидно, только среди репьюнитов. Таких чисел известно пять. Примечательно, что у каждого из них количество цифр выражается простым числом: 2, 19, 23, 317, 1031. А вот среди простых чисел, у которых все цифры, кроме центральной, единицы, был обнаружен палиндром весьма внушительной длины - в нём 1749 цифр:

Вообще среди простых чисел-палиндромов встречаются удивительные экземпляры. Вот лишь один пример - числовой гигант

А интересен он тем, что содержит 11 811 цифр, которые можно разбить на три палидромические группы, причём в каждой группе количество цифр выражается простым числом (5903 или 5).

ПРИМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ПАРЫ

Любопытные палиндромические закономерности просматриваются и в группах простых чисел, в записи которых присутствуют определённые цифры. Скажем, только цифры 1 и 3, причём в каждом числе. Так, двузначные простые числа составляют упорядоченные пары 13 - 31 и 31 - 13, из шести трёхзначных простые сразу пять чисел, среди которых есть два палиндрома: 131 и 313, а ещё два числа образуют пары «перевёртышей» 311 - 113 и 113 - 311. Во всех этих случаях составленные пары наглядно представляются в виде числовых квадратов (рис. 1).

Рис. 1

Своими свойствами они напоминают магический и латинский квадраты. Например, у среднего квадрата сумма чисел, стоящих в каждой строке и в каждом столбце, равна 444, на диагоналях - 262 и 626. Сложив числа из всех клеток, получим 888. И что характерно, каждая сумма - палиндром. Даже просто выписывая без пробела несколько чисел из одной таблицы, получим новые палиндромы: 3113, 131313131 и т. д. Какое наибольшее число можно составить таким способом? Будет ли оно палиндромом?

Если в каждую из пар 311 - 113 и 113 - 311 добавить 131 или 313, образуются четыре палиндромические тройки. Запишем одну из них в столбик:

Как видим, и сами числа, и нужная их комбинация дают о себе знать при прочтении в разных направлениях. Кроме того, расположение цифр симметрично, а их сумма в каждой строке, каждом столбце и на одной из диагоналей выражается простым числом − 5.

Надо сказать, рассмотренные числа интересны и сами по себе. Например, палиндром 131 - простое циклическое число: при любых последовательных перестановках первой цифры на последнее место он порождает простые числа 311 и 113. Можете ли вы указать другие простые палиндромы, обладающие таким же свойством?

А вот пары чисел-«перевёртышей» 13 - 31 и 113 - 311 при возведении в квадрат дают также пары «перевёртышей»: 169 - 961 и 12769 - 96721. Любопытно, что даже суммы их цифр оказались связаны хитрым образом:

(1 + 3) 2 = 1 + 6 + 9,

(1 + 1 + 3) 2 = 1 + 2 + 7 + 6 + 9.

Добавим, что среди натуральных чисел имеются и другие пары «перевёртышей» с подобным свойством: 103 - 301, 1102 - 2011, 11113 - 31111 и др. Чем объясняется подмеченная закономерность? Чтобы ответить на этот вопрос, нужно понять, что особенного в записи указанных чисел, какие цифры и в каком количестве могут в ней присутствовать.

ЧИСЛОВОЙ КОНСТРУКТОР

Из простых чисел-палиндромов, располагая их определённым образом, скажем построчно, можно составить симметричные фигуры, отличающиеся оригинальным рисунком из повторяющихся цифр.

Вот, например, красивая комбинация из простых палиндромов, записанных с помощью 1 и 3 (кроме первого, рис. 2). Особенность этого числового треугольника в том, что один и тот же фрагмент повторяется трижды, не нарушая симметрию рисунка.

Рис. 2

Легко видеть, что общее количество строк и столбцов - число простое (17). К тому же простые числа и суммы цифр: выделенных красным фрагментов (17); каждой строки, за исключением первой (5, 11, 17, 19, 23); третьего, пятого, седьмого и девятого столбцов (7, 11) и «лесенки» из единиц, образующей боковые стороны треугольника (11). Наконец, если двигаться параллельно указанным «сторонам» и складывать по отдельности цифры третьего и пятого рядов (рис. 3), получим ещё два простых числа (17, 5).

Рис. 3

Продолжая построение, можно сконструировать на основе данного треугольника более сложные фигуры. Так, ещё один треугольник с аналогичными свойствами нетрудно получить, двигаясь с конца, то есть начать с последнего числа, вычёркивая на каждом шаге две одинаковые симметрично расположенные цифры и переставляя или заменяя другие - 3 на 1 и наоборот. При этом сами цифры следует выбирать с таким расчётом, чтобы образующееся в итоге число оказалось простым. Объединив обе фигуры, получим ромб с характерным узором из цифр, скрывающим в себе немало простых чисел (рис. 4). В частности, сумма выделенных красным цветом цифр равна 37.

Рис. 4

Другой пример - треугольник, полученный из исходного после добавления к нему шести простых палиндромов (рис. 5). Фигура сразу привлекает внимание своим изящным обрамлением из единиц. Её окаймляют два простых репьюнита одинаковой длины: 23 единицы составляют «основание» и ещё столько же - «боковые стороны» треугольника.

Рис. 5

Ещё несколько фигур

Можно составить также многоугольные фигуры из чисел, обладающие определёнными свойствами. Пусть требуется построить фигуру из простых палиндромов, записанных с помощью 1 и 3, у каждого из которых крайние цифры - единицы, а сумма всех цифр и общее количество единиц в строке - простые числа (исключение - однозначный палиндром). Кроме того, простым числом должно выражаться общее количество строк, а также цифр 1 либо 3, встречающихся в записи.

На рис. 6 приведено одно из решений задачи - «домик», сконструированный из 11 различных палиндромов.

Рис. 6

Конечно, не обязательно ограничиваться двумя цифрами и требовать наличия в записи каждого используемого числа всех указанных цифр. Скорее, наоборот: ведь именно их необычные сочетания придают своеобразие узору фигуры. В подтверждение этому приведём несколько примеров красивых палиндромических зависимостей (рис. 7−9).

Рис. 7

Рис. 8

Рис. 9

Теперь, вооружившись таблицей простых чисел, вы и сами сконструируете фигуры вроде предложенных нами.

А напоследок ещё одна диковинка - треугольник, буквально пронизанный вдоль и поперёк палиндромами (рис. 10). В нём 11 строк из простых чисел, а столбцы образованы репдиджитами. И главное: ограничивающий фигуру с боков палиндром 193111111323111111391 - число простое!

Источник задания: Решение 4954. ЕГЭ 2016 Математика, И.В. Ященко. 36 вариантов. Ответ.

Задание 19. Назовём натуральное число палиндромом, если в его десятичной записи все цифры расположены симметрично (совпадают первая и последняя цифры, вторая и предпоследняя, и т.д.). Например, числа 121 и 953359 являются палиндромами, а числа 10 и 953953 не являются палиндромами.

а) Приведите пример числа-палиндрома, которое делится на 45.

б) Сколько существует пятизначных чисел-палиндромов, делящихся на 45?

в) Найдите десятое по величине число-палиндром, которое делится на 45.

Решение.

а) Самым простым вариантом будет число-палиндром 5445, которое делится на 45.

Ответ: 5445.

б) Разложим число 45 на простые множители, получим

то есть число должно делиться и на 5 и на 9. Признаком кратности числа на 5 является наличие цифры 5 в конце числа (цифру 0 не учитываем, т.к. она не подходит). Получаем число-палиндром в виде 5aba5, где a,b – цифры числа. Признаком делимости числа на 9 является то, что сумма цифр

должна делиться на 9. Из этого условия имеем:

Для b=0: ;

Для b=1: ;

Для b=2: ;

Для b=3: ;

Для b=5: ;

Для b=6: ;

Для b=7: ;